化圆为方张宇高数18讲【discovery吧】
本文摘要:化圆为方 湖北省宜昌市田家炳高中 李先铜 邮编:443001 电话:15971674385 E-mail:Lixt33@sina.com QQ:1017943641 摘要:古希腊三大几何问题,数学家说是无解。今天,我找到了答案。现将第一题,化圆为方解答如下。 关键词:化圆为方、尺规(半圆规)、弧


化圆为方
湖北省宜昌市田家炳高中 李先铜
邮编:443001 电话:15971674385 E-mail:Lixt33@sina.com QQ:1017943641

摘要:古希腊三大几何问题,数学家说是无解。今天,我找到了答案。现将第一题,化圆为方解答如下。
关键词:化圆为方、尺规(半圆规)、弧度线、后记、圆的运动功能。
古希腊三大几何问题第一题:化圆为方。即作一个正方形与给定的圆面积相等。作图时,要求用直尺和圆规。
我把答案分三步骤:一、证明圆等于方;二、找出相等的圆与方;三、尺规作图。
一,求证:圆等于方
几何分析:在一正方形内作内切圆,圆的面积小于正方形的面积。设,正方形面积不变。现在,增加圆的面积。使圆从正方形的内切圆,逐渐增大变成正方形的外接圆。这时圆的面积大于正方形的面积。推理:在这个面积变化过程中,有一个瞬间,圆的面积正好等于正方形的面积。即:○<匚 ,○=匚 ,○>匚。由此证明:圆一定能等于方。
二,找出相等的圆和方
1、圆与方相等时,圆不可能在方内小于方,也不可能在方外大于方。圆与方必须相交。2、它们相交有8个点,这说明,圆从圆心向四周发了8条射线。
3、这时,圆露出4个小弓形于方外,方露出4个小尖角于圆外。在圆与方面积相等时,圆的小弓形,等于方的小尖角。
4、经过分析,当圆的小弓形的弧长等于圆半径时,圆与方面积相等。
三,作出与圆面积相等的正方形
1、用尺规——半圆规(又名量角器,去掉刻度),作出给定圆。
2、将圆对折,得到半圆;再次折叠,得四分之一圆。将四分之一圆展开,并画出十字折叠线。折叠线的交点就是圆心。半径也一目了然。
3、作出4条弧度线。用半圆规的圆边,在圆半径直线上滚动,得到与半径等长的弧GH,得到点H——弧度点,再作出H与圆心F的直线FH——弧度线,并延伸。得到另一条弧度线。然后,作出FH过F点的垂直线——另外两条弧度线。从而得到圆的4条弧度线。并且在圆周上得到8个点。即折叠十字线与圆相交的4个点和4条弧度线与圆相交的4个点,共8个点。
4、把这8个点,如图相连,并延伸,使它们在给定圆外,相交4个点构成一个正方形BCDE。
5、求证:正方形BCDE的面积等于给定圆的面积。

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证明:
∵GH弧=圆半径。
∴S扇形FGH=S△FGI。
S扇形FHI =S弓形GHI。
∵已知(步骤二,第3点已证出),当○=匚时,S小弓形GH=S小尖角HCI,
∴S弓形GHI =S△GCI 。
∵S扇形FHI= S弓形GHI,S弓形GHI =S△GCI,
∴S扇形FHI= S△GCI。
∵S1/4圆= S扇形FGH+ S扇形FHI= S△FGI+ S△GCI= S1/4方。
∴正方形BCDE的面积等于给定圆的面积。
四、后记:
1、圆与方面积可以相等。而且任意一个圆都有和它面积相等的正方形。它们的关系是一一对应相等。
2、如果圆的面积是个无理数,那么方的面积也是无理数。如果方的面积是整数,那么圆的面积也是整数。
3、我们用直尺画出直线。其实作出直线的方法,很多。比如,将线两端固定,拉直。
比如我们搞建筑。比如木工用的墨线。
4、我们用两脚规画圆。其实,我们作圆的方式很多。比如,用半圆规,环圆规,孔圆规。因此,我们把圆规限定为两脚规,是不科学的,也不是明智的。
5、半圆规,其实就是尺规。因为它既可以当尺用,作直线,又可以当圆规用,作圆。它凝聚了尺与规的双重功能,把尺规统一了起来。所以,它应该叫做尺规。历史上2000多年前,规定的尺规的两脚规,没有圆的滚动和折叠的功能,是有缺陷的圆规。为了对圆进行更深刻的研究,我们就必须运用圆自身的运动功能,圆的滚动和折叠功能。过去,我们没有用到圆的自身的滚动和折叠的功能,忽视了圆的运动,以至于化圆为方问题,两千五百多年来,没有答案。
6、今天,我用到了圆的滚动和折叠的运动功能,很轻松地解决了,两千多年来数学家、科学家未能解答的数学神话,这是一个传奇。
2013-2-20

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